تولد منحنی های بزیه & چگونه طراحی گرافیک را شکل داد

بدون کشف منحنی بزیه، ما نمی‌توانیم منحنی‌ها را روی رایانه ترسیم کنیم. این معادله ریاضی منجر به ایجاد نرم افزار کامپیوتری شد که به شدت نحوه انجام طراحی گرافیک را تغییر داد. دریابید که چگونه منحنی بزیه در زمینه های مختلف از جمله انیمیشن و رباتیک انقلابی ایجاد کرد.

اصطلاح "منحنی بزیه" پیچیده و ترسناک به نظر می رسد، درست است؟ اما نگران نباشید - احتمالاً بارها بدون اینکه متوجه شوید از این منحنی ها استفاده کرده اید. درست است. اگر تا به حال چیزی را در Adobe Illustrator یا Photoshop ساخته اید، از منحنی های Bézier برای ایجاد اشکال مختلفی که در طراحی خود می خواهید استفاده کرده اید.

به طور خلاصه، منحنی Bézier یک تابع ریاضی است که به نرم افزارهای کامپیوتری می گوید. برای تولید اشکال خاص برای تصاویر و حروف، از جمله چیزهای دیگر. این الگوریتم امکان ایجاد تصاویر صاف و دقیق را فراهم می کند که این فناوری را در زمینه های مختلف مانند طراحی گرافیک، مهندسی، روباتیک، انیمیشن و غیره قابل استفاده می کند.

با این موفقیت، عصر جدیدی در زبان هنر متولد شد. و برای درک واقعی دامنه تأثیر آن، باید کل داستان را بشنوید. ما شما را با داستان منشأ منحنی‌های Bézier آشنا می‌کنیم و سپس در مورد اینکه آنها چیستند و چگونه می‌توان آنها را در صنایع مختلف به کار برد، بحث خواهیم کرد.

ما با سفر به زمانی قبل از رایانه‌ها شروع می‌کنیم.

برنشتاین - آغازفنی!

انواع مختلف منحنی های Bézier

همانطور که دیدیم، منحنی های Bézier تقریباً اشکال دنیای واقعی را تشکیل می دهند که فاقد نمایش ریاضی یا اشکال با نمایش های ناشناخته یا بسیار پیچیده هستند.

یک منحنی بزیه شامل حداقل سه نقطه است: مبدا، نقطه پایانی، و حداقل یک نقطه کنترل. همچنین اجازه می دهد تا تعداد نقاط کنترلی که لازم باشد، وجود داشته باشد، هرچند باید توجه داشت که وقتی منحنی های درجه بالاتری دارید، ارزیابی پیچیدگی بیشتری پیدا می کند.

یک منحنی بزیه پیچیده تر نیز می تواند از چندین منحنی کم ساخته شود. منحنی های بزیه درجه و رایج ترین شکل منحنی بزیه مکعبی است. شما می توانید با ترکیب منحنی های متعدد و حتی تعمیم به ابعاد بالاتر برای ایجاد سطوح Bézier چیزی به نام Bézier splines ایجاد کنید. مثلث بزیه یکی از این نمونه هاست.

(null)

(null)

نقاط کنترل با P0 تا نشان داده می شوند. Pn ، بسته به تعداد آنها. در این معادله، n مخفف ترتیب منحنی است، که در آن n =1 خطی، n =2 درجه دوم و n =3 مکعب است. ترکیب‌های افین جایی هستند که مجموع ضرایب 1 است.

اجازه دهید منحنی‌های مختلفی را که ممکن است استفاده کنید به اختصار پوشش دهیم.

منحنی خطی بزیه

با دو نقطه متمایز، P0 و P1 ، منحنی خطی بزیه یک خط مستقیم بین این دو نقطه است. منحنی نشان داده شده استبه عنوان:

منبع تصویر: ویکی مدیا

معادل درون یابی خطی است.

منحنی درجه دوم بزیه

با سه نقطه مجزا، P0 ، P1 و P2 ، منحنی درجه دوم مسیری است که بر اساس تابع B(t) نتیجه می‌گیرد. به صورت زیر نمایش داده می شود:

منبع تصویر: ویکی مدیا

منحنی درجه دوم را می توان به عنوان درون قطبی خطی نقاط روی منحنی های خطی بزیه که با مطابقت دارند تفسیر کرد. P0 تا P1 و P1 تا P2 به ترتیب. این در نهایت مشتق منحنی بزیه را با توجه به t به دست می دهد مانند این:

منبع تصویر: ویکی مدیا

و دومین مشتق منحنی بزیه با احترام به t به صورت زیر است:

منبع تصویر: ویکی مدیا

منحنی مکعب بزیه

با چهار نقطه مجزا، P0 ، P1 ، P2 ، و P3 ، منحنی مکعبی مسیری است که بر اساس تابع B(t)<6 به دست می‌آید> به صورت زیر نمایش داده می شود:

منبع تصویر: ویکی مدیا

منحنی مکعبی را می توان در فضایی با ابعاد بالاتر نشان داد و به صورت ترکیبی از دو منحنی درجه دوم تعریف کرد.

همچنین روش های مختلفی برای تعریف منحنی های بزیه وجود دارد. یک تعریف بازگشتی منحنی بزیه درجه n را از طریق درون یابی خطی بیان می کند - ترکیب خطی نقطه به نقطه از دو نقطه متناظر در دو منحنی بزیه درجه n -1. یک تعریف صریح به طور مداوم t0 و (1-t)0 را به 1 در سراسر [0,1] گسترش می دهد.

یک ویژگی جالب منحنی های بزیه این است که اگر منحنی ثابتی از منحنی دیگر بزیه باشد، نمی توانند منحنی دقیقی را تشکیل دهند. به این افست ثابت، منحنی موازی نیز گفته می شود، زیرا موازی با منحنی اصلی است. با این حال، روش‌های اکتشافی می‌توانند تقریب‌های نزدیک را در صورت نیاز برای اهداف عملی ایجاد کنند.

در حوزه گرافیک برداری، می‌توانید دو منحنی افست با فاصله متقارن را ترسیم کنید که به آن نوازش می‌گویند. بنابراین، فرض کنید می خواهید فونت های تعریف شده در Metafont (زبان توصیفی برای رندر کردن فونت های شطرنجی) را تبدیل کنید. در این صورت، می‌توانید منحنی‌های افست را با نوازش منحنی‌های بزیه به خطوط پرشده بزیه تبدیل کنید. فونت های PostScript Type1 فقط به شما نیاز دارند که یک کانتور مشخص شده با منحنی های بزیه را پر کنید.

نوع دیگری از منحنی های بزیه، منحنی منطقی است که مفید است زیرا می تواند اشکال دلخواه را با افزودن وزن های قابل تنظیم تقریب نزدیک کند. مخرج مجموع وزنی چندجمله‌ای برنشتاین است و صورت‌گر آن منحنی بزیه به شکل برنشتاین وزنی است. این منحنی ها اغلب برای نشان دادن کمان های دایره ای استفاده می شوند.

همچنین باید توجه داشت که منحنی های Catmull-Rom با منحنی های Bézier متفاوت هستند. آنها از نظر معنی نقاط متفاوت هستند، حتی اگر منحنی های Bézier و Catmill-Rom بسیار مشابه به نظر می رسند.

کاربردهای Bézierمنحنی‌ها

از آنجایی که منحنی‌های Bézier طراحان و مهندسان گرافیک را قادر می‌سازد تا اشیاء واقعی را مدل‌سازی کنند، کاربردهای آن‌ها فراوان و فوق‌العاده ارزشمند است. بیایید برخی از آنها را مرور کنیم.

گرافیک کامپیوتری

منحنی های Bézier ما را قادر می سازد تا منحنی های صاف را مدل سازی کنیم زیرا منحنی در بدنه محدب ایجاد شده توسط نقاط کنترل قرار دارد. سپس می‌توانید با اعمال این تبدیل‌ها در نقاط کنترل، تبدیل‌های همبسته مانند چرخش و ترجمه را روی منحنی اعمال کنید. ارزیابی محاسباتی گران است. از اینها برای ایجاد اشکال ساده استفاده می شود.

اما با رشته دادن منحنی های بزیه با مرتبه پایین، می توانید یک منحنی بزیه ترکیبی ایجاد کنید که شبیه یک منحنی واحد است اما پیچیدگی منحنی لازم برای تولید اشکال پیچیده تر را فراهم می کند. اینها به عنوان منحنی های پلی بیزیه شناخته می شوند.

استانداردهای گرافیک برداری مانند SVG، زبان های گرافیک برداری مانند PostScript، و برنامه های گرافیک برداری مانند Adobe Illustrator، Vectornator، CorelDraw، Artline، Inscape، Timeworks Publisher و آلگرو از منحنی های مرکب بزیه استفاده می کند.

ساده ترین راه برای اسکن تبدیل (تصحیح سازی) منحنی بزیه این است که بسیاری از نقاط با فاصله نزدیک را ارزیابی کنید، سپس این دنباله از قطعات خط را بگیرید و تبدیل آن را اسکن کنید. با این حال، اگر نقاطبا فاصله زیاد از هم، خروجی شطرنجی ممکن است به اندازه کافی صاف نباشد.

یک روش تطبیقی ​​که به طور گسترده مورد استفاده قرار می گیرد، تقسیم بندی بازگشتی است. با این روش، نقاط کنترل منحنی را بررسی می کنید تا ببینید آیا منحنی به یک خط مستقیم نزدیک است یا خیر. اگر اینطور نیست، به صورت پارامتریک آن را به دو بخش منحنی تقسیم می‌کنید و از همان تکنیک به صورت بازگشتی در هر نیمه استفاده می‌کنید. از نظر ریاضی، می‌توانید از روش‌های تفاضل رو به جلو نیز استفاده کنید که نیاز به تجزیه و تحلیل انتشار خطا دارند.

Metafont از الگوریتم شطرنجی‌سازی استفاده می‌کند که برای گسسته کردن منحنی بر معادلات درجه دوم تکیه می‌کند. یک شکل منحنی اصلاح شده از الگوریتم ترسیم خط برسنهام می تواند شطرنجی سازی را با تقسیم منحنی به قطعات منطقی انجام دهد.

شما می توانید با مطالعه بحث عالی ادیسون وسلی در مورد جزئیات پیاده سازی در Metafont: The درباره Metafont اطلاعات بیشتری کسب کنید. برنامه .

Fonts

همانطور که دیدیم، منحنی های Bézier اولین بار در دنیای طراحی از طریق چاپگرها ظاهر شدند، زیرا آنها به شدت بر کیفیت و دقت حروف تأثیر گذاشتند.

برای مثال، فونت های TrueType از منحنی های ترکیبی Bézier که از منحنی های درجه دوم تشکیل شده است استفاده می کنند. سایر ابزارهای زبانی و تصویربرداری مانند PostScript، Asymptote، Metafont و SVG از منحنی های Bézier مرکب از منحنی های مکعبی برای ترسیم اشکال منحنی استفاده می کنند. فونت‌های OpenType از منحنی‌های مکعبی و درجه دوم استفاده می‌کنند، بسته به اینکه کدام فناوری بر پوشش OpenType حاکم است.(رمزگذاری که به سیستم می‌گوید چگونه فونت را مدیریت کند).

و ویژگی "منحنی صاف" نمودارها در مایکروسافت اکسل از یک الگوریتم برای تقسیم تمام منحنی‌های Bézier به صورت بازگشتی استفاده می‌کند تا زمانی که منحنی به اندازه کافی صاف باشد که بتوان رسم شود. به عنوان یک سری از قطعات خطی یا دایره‌ای.

شایان ذکر است که منحنی‌های بزیه نمی‌توانند کمان‌های دایره‌ها و بیضی‌ها را به میزان دقیقی نشان دهند، بنابراین در ابتدا با منحنی‌های بزیه تقریب می‌شوند، که سپس توسط منحنی‌های بزیه تقریب می‌شوند. قوس های دایره این رویکرد ناکارآمد است زیرا تقریباً تمام منحنی‌های بزیه با استفاده از کمان‌های دایره‌ها یا بیضی‌هایی که به صورت تدریجی بر اساس دقت دلخواه ایجاد می‌شوند، وجود دارد.

بنابراین، روش دیگر تبدیل دقیق تمام منحنی‌های بزیه و مخروطی (یا سطوح) است. ) به NURBS (Non-Uniform Rational Basis Spline) که می تواند به صورت تدریجی بدون نیاز به تقسیم منحنی به صورت بازگشتی برای برآوردن شرایط صافی ایجاد شود. این رویکرد برتر است زیرا تعریف منحنی را تحت تمام پیش بینی ها و تبدیل های دوبعدی و سه بعدی خطی یا پرسپکتیو حفظ می کند. آداپتورهای گرافیکی سخت‌افزاری مدرن معمولاً از این تکنیک با هندسه شتاب‌دار استفاده می‌کنند.

منبع تصویر: Wikimedia Commons

Animation

برنامه‌هایی مانند Synfig از منحنی‌های Bézier برای ترسیم طرح کلی حرکت استفاده می‌کنند. کاربران مسیر مورد نظر را در منحنی های Bézier ترسیم می کنند و برنامه فریم های لازم را برای حرکت جسم ایجاد می کند.در طول مسیر.

این گونه است که طراحان حرکت و انیماتورها "احساس" یا "فیزیک" مورد نظر خود را ایجاد می کنند. منحنی بزیه نه تنها مکان حرکت جسم را کنترل می کند، بلکه سرعت حرکت را در طول زمان نیز مشخص می کند. اگر یک نماد نیاز به جابجایی از نقطه A به نقطه B داشته باشد، طراح از یک منحنی بزیه برای صاف کردن مسیر مکان نما و تنظیم سرعت حرکت استفاده می کند.

این هنگام به تصویر کشیدن حرکت بسیار مهم است، بنابراین کاربر این کار را انجام نمی دهد. هیچ تکانی یا تاری را تجربه نکنید. در ویرایش ویدیو، اجرای زوم ها و پانل های دوربین هنگام عکاسی از صحنه یا در حین پس از تولید بسیار مهم است.

در انیمیشن های سه بعدی، منحنی های Bézier اغلب برای تعریف مسیرهای سه بعدی و منحنی های دوبعدی برای فریم کلیدی استفاده می شوند. درون یابی منحنی های Bézier اکنون اغلب برای کنترل آسان سازی انیمیشن در CSS، JavaScript، JavaFX و Flutter SDK استفاده می شود. آنها تفاوتی در متن و انیمیشن کج ایجاد می کنند، زیرا زمان هایی وجود دارد که فیلمبرداران برای اثرگذاری باید متن را متحرک کنند.

شما می توانید با خواندن کتاب پل بورک درباره منحنی های Bézier در زمینه سطوح سه بعدی اطلاعات بیشتری کسب کنید. سطوح Bézier (به صورت سه بعدی) .

رباتیک

منحنی های Bézier نیز در رباتیک برای تولید مسیرهای یک اثر پایانی استفاده می شود. این به این دلیل است که چند ضلعی کنترل می تواند نشان دهد که آیا مسیر با هر شی یا مانعی در نزدیکی برخورد می کند یا خیر، که برای ماشینی که می تواند مسیر فیزیکی را هدایت کند ضروری است.جهان.

مسیرهای فضایی مشترک، که برای صاف کردن حرکات سخت افزار رباتیک استفاده می شوند، می توانند با استفاده از منحنی های بزیه نیز به دقت متمایز شوند. به این ترتیب، مشتقات مسیرهای فضای مشترک برای محاسبه دینامیک و تلاش کنترلی (پروفایل های گشتاور) دستکاری رباتیک (بازوهای روباتیک AKA) استفاده می شود.

نرم افزار طراحی که منحنی های بزیه را به کار می اندازد

همانطور که می بینید، کشف منحنی بزیه یک جهش بزرگ به جلو در توسعه طراحی گرافیک دیجیتال و هر چیزی که طراحی به کمک کامپیوتر امکان پذیر می کند بود. بدون این تابع ریاضی، ما نرم‌افزار رایانه‌ای برای طراحان گرافیک، نقشه‌کشان و انیماتورها نخواهیم داشت تا بدون تلاش دستی که قبلاً انجام می‌شد، سریع‌تر و مؤثرتر کار کنند.

مهمتر از آن، این فناوری باعث شده است طراحی گرافیکی در دسترس تر است، دری را برای افراد و ایده های بیشتری باز می کند که می تواند جهان را تغییر دهد. اما با این حال، همه نرم‌افزارهای طراحی یکسان ایجاد نمی‌شوند، حتی اگر این پلتفرم‌ها از همه چیزهایی که منحنی‌های Bézier ارائه می‌دهند استفاده کنند.

هنوز به شما بستگی دارد که نرم‌افزار رایانه‌ای را انتخاب کنید که از دستاوردهای گذشته برای ایجاد چیزی بیشتر از آن استفاده کند. ارزش. و این دقیقاً همان چیزی است که با Vectornator به دست می آورید.

نرم افزار طراحی گرافیکی ما مجموعه ای از امکانات شخصی شماست، زیرا هر ابزاری را که برای ایجاد تصاویر دیجیتالی خیره کننده بدون محدودیت یا محدودیت نیاز دارید را فراهم می کند.نگرانی ها. با استفاده از این پلتفرم واحد، شما از تمام آنچه که منحنی های بزیه ممکن کرده اند، استفاده می کنید: طراحی، حروف، تایپوگرافی، طراحی گرافیک، گرافیک برداری، و موارد دیگر:

• تصویر - با استفاده از ابزارهای برداری دقیق، می توانید هنر دیجیتالی دقیق و پیشرفته ای ایجاد کنید که نشان دهنده مهارت و استعداد شماست. از ابزار Vectornator's Pen Tool برای ایجاد مسیرهای پیچیده و دقیق استفاده کنید.
• حروف - خوشنویسی، حروف دستی و تایپوگرافی دیجیتال با نرم افزار طراحی وکتور بصری ما امکان پذیر است و به شما امکان می دهد حروف زیبا بسازید. و طرح‌های مبتنی بر نوع که با مخاطبان شما صحبت می‌کنند.
• طراحی رابط کاربری - کار خود را از پلتفرم‌های دیگر وارد کنید و طرح‌های خود را با ویژگی Auto Trace ما برای جذاب و دقیق‌تر به سطح بعدی ببرید. طرح های برداری.
• طراحی چاپ - با تصاویر وکتور سیال و حروف قدرتمند، می توانید طرح های تاثیرگذاری با رنگ آمیزی دقیق CMYK ایجاد کنید که آماده چاپ هستند.

چرا امروز Vectornator را به صورت رایگان امتحان نمی‌کنید و تمام ویژگی‌هایی را که به شما نشان می‌دهند طراحی بدون محدودیت چگونه است را بررسی نکنید؟

برای شروع، Vectornator را دانلود کنید

طرح‌های خود را به سطح بعدی ببرید.

مهندسان چگونه اشیایی را که می خواستند بسازند قبل از کامپیوترها مدلسازی کردند؟ آنها از چیزی به نام اسپلین استفاده می کردند.

اسپلین یک قطعه پلاستیکی یا چوبی بلند و انعطاف پذیر با مقطع مستطیل شکل بود. اسپلاین با اتصال به تخته ای با وزنه های سنگین سربی که دارای برجستگی هایی به نام اردک بود در جای خود ثابت می شد. سپس اسپلاین بر اساس جایی که اردک ها آن را ثابت نگه داشته اند، قالب می گیرد. حرکت دادن اردک ها به معنای تغییر شکل اسپلاین بود.

پستی که توسط کلارک کلوگ به اشتراک گذاشته شده است (@clark_kellogg)

بدیهی است که این پست کمتر از عالی بود تکنیک، به خصوص از نظر دقت. فقط در مورد آن فکر کن. مهندسان باید موقعیت اردک را تا حد امکان دقیق ثبت می کردند و اغلب مجبور بودند مقدار قابل توجهی پول را برای تجهیزات نقشه کشی مورد نیاز برای طراحی قطعات پیچیده ای که فضا را اشغال می کنند، خرج کنند. از نظر ریاضی، این رویکرد نیز کوتاه بود، زیرا هنگام تجزیه و تحلیل، راه حل بسته ای وجود نداشت. با استفاده از کامپیوتر و حتی زمانی که کامپیوترها وارد تصویر شدند، هنوز باید راهی برای رسم منحنی ها پیدا شود.

وقتی ما اشیاء دو بعدی یا سه بعدی را ترسیم می کنیم، آنها از خطوط مستقیم و منحنی تشکیل می شوند. و در حالی که کشیدن خطوط مستقیم با استفاده از کامپیوتر به اندازه کافی آسان است، منحنی ها مشکل هستند. ما می توانیم منحنی ها را ترسیم کنیمبه راحتی با دست آزاد است، اما کشیدن آنها بر روی کامپیوتر یک بازی توپ دیگر است.

شما به یک تابع ریاضی نیاز دارید که به رایانه بگوید چگونه آنها را ترسیم کند. اولین پیشرفتی که راه را برای کشف این موضوع باز کرد، از سرگئی ناتانوویچ برنشتاین بود.

در سال 1912، او مفهوم ریاضی چند جمله ای های منحنی هموار را توسعه داد. یک چند جمله ای عبارتی است از بیش از دو عبارت جبری و به طور خاص، مجموع چند عبارت که دارای توان های مختلف از یک متغیر هستند، مانند x1 و x2 .

متأسفانه برای برنشتاین، او به قدرت محاسباتی مورد نیاز برای نشان دادن چگونگی استفاده از تابع ریاضی خود برای حل مسائل دنیای واقعی دسترسی نداشت. در نتیجه، اکتشاف او تا دهه 1960 روشن نشد.

در این زمان، کامپیوترها به یک ابزار استاندارد مورد استفاده در تولید، مانند صنعت خودروسازی تبدیل شده بودند. و در اینجا بود که یک مشکل جدید به وجود آمد که یک راه حل محاسباتی را می طلبید. دو نفر در زمان مناسب در مکان مناسب بودند - یک ریاضیدان به نام پیر بزیه و یک مهندس به نام پل دو کاستلژائو.

پیر بزیه در رنو کار می کرد و دی کاستلژائو در سیتروئن کار می کرد. مشکلی که آنها در صدد حل آن بودند، یافتن راه های جدیدی برای کاهش مصرف سوخت خودروها بود. این امر هر دو مرد را به سمت چندجمله‌های منحنی صاف برنشتاین سوق داد تا بررسی کنند که چگونه می‌توانند بدنه خودرو را تغییر دهند.هر کدام به طور مستقل با مشکل دست و پنجه نرم کردند. De Casteljau اولین کسی بود که تابع پایه ریاضی را که Bernstein با طراحی به کمک کامپیوتر (CAD) معرفی کرده بود ترکیب کرد تا یک شاسی صاف و منحنی خودرو را مدل کند.

De Casteljau این برنامه را در سال 1959 کشف کرد، اما متأسفانه سیتروئن این کار را نکرد. به او اجازه دهید آن را ثبت اختراع کند یا یافته ها را منتشر کند. رنو بخشش بیشتری داشت، بنابراین وقتی پیر بزیه به همین نتیجه رسید، به او اجازه داده شد که در اوایل دهه 1960 نتایج خود را ثبت و منتشر کند. و اینگونه بود که این تابع ریاضی منحنی بزیه نام گرفت.

معادله ریاضی منحنی بزیه به این صورت است:

منبع تصویر: Wikimedia

بیایید توضیح دهیم با جزئیات بیشتر چرا این معادله اینقدر ارزشمند است.

منحنی بزیه چیست؟

و چگونه معمای منحنی را حل می کند؟

با یک تابع ساده ریاضی، پیر، Bézier انقلابی در طراحی دیجیتال ایجاد کرد. ابزار طراحی هندسی به کمک کامپیوتر (CAGD) او UNISURF نام داشت که به طراحان این امکان را می داد تا منحنی های صاف و دقیقی را روی صفحه کامپیوتر بکشند. در مورد CAGD از بحث عالی مورگان کافمن در Curves and Surfaces for CAGD: A Practical Guide بیشتر بیاموزید.

اما قبل از اینکه داستان چگونه منحنی های Bézier جهان را تحت تاثیر قرار داد، مهم است. برای درک این موضوع که منحنی بزیه چیست و چگونه کار می کند.

اگر بخواهیم یک منحنی صاف را روی یک منحنی نشان دهیم.صفحه نمایش کامپیوتر، ما باید راهی برای تقریبی شکل آن پیدا کنیم. هنگامی که به یک صفحه نمایش LCD با دقت نگاه می کنید، می توانید مربع های کوچکی را ببینید که طرح کلی تصاویر را تشکیل می دهند. بنابراین، هر چیزی که ما در گرافیک کامپیوتری ایجاد می کنیم، فقط یک تقریب است.

یک منحنی بزیه می تواند شکل یک منحنی را تقریبی کند، زیرا شکلی از یک تابع پارامتری است که از مجموعه ای از نقاط کنترل تشکیل شده است. دو نقطه نشان دهنده هر انتهای منحنی است، در حالی که نقطه سوم شکل منحنی را تعیین می کند.

یک منحنی پارامتری با استفاده از درون یابی های خطی ایجاد می شود. تمام این معنی "انتخاب یک نقطه بین دو نقطه" است. هنگامی که مبدا و نقطه پایانی منحنی را مشخص کردید، می توانید نقطه سوم را برای ایجاد شکل منحنی قرار دهید. با تغییر نقاط کنترل، کل منحنی را تغییر می دهید.

به عنوان مثال، اگر نقطه سوم را 30% از مبدأ و 70% دورتر از نقطه پایانی قرار دهید، می توانید به راحتی محاسبه کنید که شکل شما چیست. منحنی خواهد بود، و اگر نقطه سوم را در هر جهتی حرکت دهید، کل منحنی تغییر می کند.

منحنی روی صفحه کامپیوتر شما خروجی یک تابع ریاضی، یعنی منحنی بزیه، و این الگوریتم است. به رایانه می‌گوید با توجه به ورودی‌های خاص چه کاری انجام دهد.

منظور از "تابع" فرمولی است که ما را بر اساس هر تعداد ورودی به یک خروجی می‌رساند. تابع در نهایت خطوطی را که ما روی خود می بینیم به دست می دهدصفحه نمایش کامپیوتر برای اهداف طراحی، ما به تابعی نیاز داریم که بتوان آن را به سرعت برای تولید یک خط محاسبه کرد.

منحنی های بزیه توابع پارامتری هستند که تا آنجایی که از بیش از یک تابع برای تولید مقادیر متعدد استفاده می کنند، «تقلب» می کنند. آنها این کار را با پیوند دادن مقادیر به یک متغیر "کنترل" انجام می دهند. بیایید این را با دقت بیشتری باز کنیم.

ریاضی پشت منحنی های بزیه

منحنی های بزیه با استفاده از تابع پایه یکسان برای همه مقادیر خروجی آن مشخص می شوند. به عبارت دیگر، آنها از "چند جمله ای دو جمله ای" برای هر دو خروجی x و y استفاده می کنند. به یاد داشته باشید که چند جمله ای ها به این شکل هستند:

منبع تصویر: GitHub

چندجمله ای هایی با x3 به عنوان بالاترین مرتبه عبارت چند جمله ای "مکعبی" هستند و اگر x2 ، یک چند جمله ای "مربع" داریم. اگر x باشد، آن را یک خط می نامیم.

منحنی های بزیه چند جمله ای های t هستند، در مقابل x ، و مقدار برای t بین 0 و 1 ثابت است. ضرایب a ، b ، و غیره، سپس شکل "دوجمله‌ای" را مانند زیر بگیرید:

منبع تصویر: GitHub

چیزی که منحنی بزیه را به چنین پیشرفت عمیقی در هنر دیجیتال تبدیل می کند این است که هم ساده و هم همه کاره است و به طراحان گرافیک راهی برای دستیابی به کنترل منحنی با تغییر فرم های منحنی ارائه می دهد. مناسب را ببینید.

شما می توانید منحنی های اساسی ایجاد کنید و منحنی های پیچیده تر را با پیوند دادن چندین منحنی Bézier برای ایجاد یک منحنی واحد بسازید. این امر طراحان گرافیک را قادر می سازدبه پیچیدگی منحنی مورد نیاز برای طراحی‌های خود دست می‌یابند.

منحنی‌های Bézier جالب هستند زیرا می‌توانیم آنها را از طریق یکی از دو عدسی مشاهده کنیم. اولی به ما امکان می دهد آنها را با استفاده از "ریاضی واقعی" ببینیم، جایی که منحنی را بر اساس مشتقات، توابع، و غیره باز می کنیم. این شامل نگاه کردن به منحنی از طریق توابع چند جمله ای آن است.

عدسی دوم به ما اجازه می دهد تا منحنی را بر حسب درون یابی مشاهده کنید. این بدان معناست که ما به ترکیب "مکانیکی" نگاه می کنیم، که نشان می دهد منحنی فراتر از نقاط استفاده شده برای ایجاد آن نمی رود.

اکنون که درک ریاضی عمیق تری از منحنی های بزیه دارید، می توانیم به داستان ما در مورد اینکه چگونه منحنی های بزیه در نهایت پس از تولد آن در صنعت خودروسازی فرانسه وارد جریان اصلی طراحی گرافیک شدند، بازگردید.

از ایجاد ماشین ها تا تکمیل چاپ

چگونه منحنی های بزیه طراحی گرافیک را تغییر داد

مرکز تحقیقات زیراکس پالو آلتو با هدف مدرن سازی فضای اداری سنتی برای ایجاد فضای کاری برای آینده. آنها استفاده از برنامه های کامپیوتری و شبکه های اختراع شده صنعت، ویرایشگرهای متن و چاپگرهای لیزری را پیشنهاد کردند. تنها نقطه کور آنها نبود انگیزه برای توسعه گرافیک کامپیوتری بود.

در کمال ناامیدی دو تن از کارمندان آنها - جان وارناک و چارلز گشکه - زیراکس هیچ علاقه ای به توسعه یک زبان گرافیکی چاپ کنترل شده جدید که می تواند تجاری سازی شده است. بنابراین، در سال 1982، این دو دانشمند کامپیوتر رفتندزیراکس PARC برای راه اندازی شرکت خود به نام Adobe. آشنا به نظر می رسد؟

اولین ساخته آنها فناوری به نام PostScript بود. با این زبان جهانی، چاپگرها اکنون می توانند اسناد متنی را برای چاپ محتوای مناسب تفسیر کنند. این زبان مبتنی بر نقشه‌های بیتی نبود، زیرا در نقاط کنترلی متصل شده توسط یک الگوریتم برای تولید منحنی‌های صاف، زمین شده بود. نرم افزار آنها از منحنی های Bézier برای ایجاد حروف دقیق و صیقلی استفاده می کرد.

Old Apple Printer. منبع تصویر: Unsplash

استفاده Adobe از منحنی های Bézier برای نمایش حروف متن، چشم انداز گرافیکی را برای همیشه تغییر داد. متن در اسناد دیجیتال می تواند برای اولین بار کشیده، له شود، یا بزرگ یا کوچک شود. پست اسکریپت در سال 1985 از طریق پرینترهای لیزری اپل منتشر شد و آغازی برای آوردن یک زبان گرافیکی جهانی به جهان بود.

با این حال، از آنجایی که پست اسکریپت هنوز یک زبان گرافیکی بود، برای ایجاد گرافیک باید یک برنامه نویس کامپیوتری بود. . به این ترتیب، Adobe شروع به کار بر روی محصولی با رابط طراحی کرد که از کد PostScript استفاده می کرد.

از آنجایی که پست اسکریپت بر اساس منحنی ها و بردارها بود، کاربر باید روی رابط طراحی کلیک می کرد تا نقاط لنگر ایجاد کند، سپس برای تنظیم نقطه کنترلی که هر منحنی را تعریف می کرد، بکشید.

همه اینها تلاش‌ها منجر به ایجاد Adobe Illustrator شد، فناوری که بسیار بیشتر از طراحی دیجیتالی باز شد.

ناگهان، گرافیکطراحی دیگر آن فرآیند آنالوگ دست و پا گیر سابق نبود. طراحان گرافیک همیشه همه کارها را با دست انجام می دادند که بسیار وقت گیر بود و شامل تلاش های اضافی مانند پر کردن مجدد، نگهداری و شستن قلم های Rapidograph آنها بود.

همسر Warnock، Marva، یک طراح گرافیک آموزش دیده بود که می خواست مشکلاتی را که کسانی که در حوزه کاری او هر روز با آن روبرو هستند را حل کند. او می‌خواست برای طراحان گرافیک ایجاد منحنی‌های عالی، گوشه‌های رادیکال و اندازه‌های ضربه‌ای متفاوت را آسان کند. و وارناک مصمم بود که این رشته را از انجام هر کاری با دست به انجام آن از طریق یک برنامه کامپیوتری ببرد. Adobe Illustrator پاسخ این سوال بود.

صنعت چاپ با آغوش باز از این فناوری جدید استقبال کرد و تشخیص داد که این روش جدید طراحی برای ایجاد تصاویر، تبلیغات چاپی و جلدها سریعتر و ارزانتر خواهد بود. کارهایی که در ابتدا شامل حرکت کامل یک منحنی فرانسوی بود، اکنون می‌توانست تنها با دو کلیک ماوس کامپیوتر ایجاد شود.

Adobe Illustrator با موفقیت ابزارهای هنرهای زیبا را با روشی قابل دسترس و مقرون به صرفه برای خلق آثار هنری ترکیب کرد. این امر باعث شد که تولید هنر گرافیک زمان‌برتر و در دسترس‌تر باشد و امکان هجوم خون و ایده‌های تازه به صنعت طراحی گرافیک را فراهم کند.

منحنی‌های Bézier طراحی گرافیک را برای همیشه تغییر دادند. بنابراین، تمام منحنی های مختلف Bézier که می توانید برای ایجاد طرح ها استفاده کنید چیست؟ بگیریم